Kuinka löytää yhtälön juuret?

Yksi matematiikan tärkeimmistä osista on jakso, joka käsittelee yhtälöiden ratkaisemista ja yhtälöiden juuren löytämistä.

Ennen kuin löydät yhtälön juuren, sinun on ensin selvitettävä, mitä se on.

Yhtälön juurena on tuntemattoman arvon arvoarvot yhtälössä latinalaisin kirjaimin (useammin - x, y, mutta voi olla muita kirjaimia). Tämä mainittiin artikkelissamme - Mikä on yhtälön juuri.

Harkitse, kuinka löytää kaikki juuret, erilaiset yhtälöt ja erityiset esimerkit.

Kirjeen muoto ax + b = 0 yhtälö

Tämä on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja, missä a ja b ovat numeroita, ja x on yhtälön juure.

Yhtälön juurien lukumäärä riippuu a: n ja b: n arvosta:

Jos a = b = 0, yhtälöllä on ääretön määrä juuria.
Jos a = 0, b ei ole 0, yhtälöllä ei ole juuria.
Jos a ei ole yhtä kuin 0, löydämme juuren kaavalla: x = - (b / a)

esimerkiksi:

5x + 2 = 0
a = 5, b = 2
x = - (2/5)
x = -0,4

Vastaus: yhtälön juureen on 0,4

Yhtälö on ax2 + bx + c = 0.

Tämä on neliöllinen yhtälö. On olemassa useita tapoja löytää juuret neliöllisessä yhtälössä. Pohdimme yleistä, joka sopii kaikkien a, b ja c arvojen ratkaisemiseen.

Ensinnäkin meidän on löydettävä tämän yhtälön syrjäyttäjä (D).

Tätä varten on olemassa kaava:

D = b²-4ac

Riippuen siitä, mitä syrjintä on oppinut, on olemassa kolme vaihtoehtoa lisäratkaisuille:

Jos D> 0, niin juuret ovat 2. Ja lasketaan kaavalla:
- x₁= (-b + √ D) / 2a.
- x₂= (-b - √ D) / 2a
Jos D = 0, niin yksi juuri - se löytyy, jolla on kaava: X = - (b / 2 a)
Jos D <0, yhtälöllä ei ole juuria.

esimerkiksi:

x²+ 3x-4 = 0

Tässä a = 1, b = 3, c = -4

D = 3² - (4 * 1 * (- 4))
D = 9- (-16)
D = 9 + 16
D = 25

D> 0, niin yhtälössä on 2 juuria.

√D = √25 = 5

Korvataan kaikki arvomme kaavassa:

x₁ = (-3 + 5) / 2 * 1
x₁= 2/2
x₁= 1
x₂= (-3-5) / 2 * 1
x₂= (-8) / 2
x₂= -4

Vastaus: Yhtälön juuret ovat 1 ja -4.

Lomakkeen yhtälö³+ bx²+ cx + d = 0

Tämä on kuutioyhtälö.

On Cardanon matemaatikon erityisiä kaavoja, joista voidaan ratkaista tällainen yhtälö, mutta ne ovat hyvin monimutkaisia. Menemme toiseen, ymmärrettävämmällä tavalla.

Kuutioyhtälöillä on aina ainakin yksiroot, ja sen arvo on yleensä kokonaisluku välillä -3 ja 3. Eli vaihdamme x-numeroiden käytettävissä olevaan yhtälöön: -3, -2, -1, 0, 1, 2 ja 3. Tämä on X_1.

Se on paljon yksinkertaisempaa ja nopeampaa kuin miltä se näyttää, ja varmasti helpompaa kuin Cardano-kaavojen käyttäminen.

Kun löydämme x₁, siirry hakuun X₂ ja X_3.

Tätä tarkoitusta varten jaamme yhtälömme (x-x₁) - tämä voidaan tehdä kiinnikkeillä. Meillä on oltava neliöllinen yhtälö, jonka olemme ratkaisseet tässä artikkelissa hieman korkeammat.